张鹤：为什么该复习的都复习了，效果却不理想
张鹤
北京市中学数学特级教师，北京市中学市级青年骨干教师，北京市中学数学学科带头人，第八届苏步青数学教育奖（二等奖）获得者，中国教育学会中学数学专业委员会理事，“人教版”《普通高中课程标准实验教科书·高中数学》编委会成员，现为北京市海淀区教师进修学校教研员，海淀区名师工作站导师组数学组组长。
在高三复习的最后阶段，由于离高考的时间越来越近的缘故，不论是学生、家长还是任课教师，都出现了不同程度的急躁情绪。如何尽快地提高学生数学的思维能力，以期在7周后的高考中取得令自己满意的分数，成为大家共同关注、焦虑的话题。
我以为要解决这个问题的关键，在于明确学生在数学复习中，仍存在的最大的问题是什么？阻碍学生提高数学成绩的最大的障碍是什么？只有如此，才能够提高最后阶段数学复习的针对性，也才能够真正提高学生数学复习的效率，让学生感受到数学复习的价值。
我在海淀区教委宣传科组织的“家庭教育大讲堂”上，就“高三数学复习的策略与方法”和自愿来听讲座的家长们做了比较深入的交流。一位有在英国留学读博经历的家长给我留下了比较深刻的印象，他非常认同我在讲座中对中学阶段学生数学现状的理解和思考，他认为在高三复习中对数学基本思想和方法的唤醒不仅非常必要，而且难能可贵。
他的观点是：“在当前应试教育的背景下，使学生能够从哲学角度去看问题，用系统性的方法论去尝试解决问题，对学生未来的生活、工作，以及当前的考试都会很大的帮助。”
他在后来发给我的邮件中阐述道：“从广义的意义上来说，许多社会问题，无论是科学的（Basic particle）、政治的(Political view）、经济的（Allocation identify）、文化( Taboos boundary)的，甚至是军事(Power contrast)的，很多都是起源于对基本单位的定义和理解，也就是数学上的1，以及0到1的由来。在这个问题上没有共识，随后的基数递增以及更大级数上产生的误差和冲突的数量就可想而知了。即便是没有在基态上有明确的定义，在次级或次2级态能有最大程度的一致，就可以降低几何基数的分歧”。
这位家长用“基本单位”这一概念从宏观的层面上揭示了许多社会现象的本质，其实何尝不是对于我们的高三数学复习教学工作，特别是我们高中的数学教育来说也是一种启示呢。
目前，高三学生经历了近8个多月的全面复习，用老师常用的话说，就是该复习的都复习了。但为什么在一些学生成绩上反映出来的复习效果却不是很理想呢？
其中一个重要的原因就是从单独的知识点来看，似乎学生都已经过了一遍，但是把这些知识整合起来，变成学生自己的知识结构，形成自己的思考数学问题的思维还远远没有达到要求。而这也正是高三最后阶段的八周复习的重要任务。
我们的学生在数学学习中所遇到的困难的原因不是学生做的题目少，也不能怪罪学生不刻苦。需要我们反思的是，我们的数学教学是不是从学生开始学习数学的时候，就本着从数学的概念出发去引导学生去思考数学的问题，学生是否能够从数学的本质上理解数学问题。
在目前的数学复习课上，学生的思维活动还常常受制于教师，缺乏独立解决数学问题的思维过程，缺乏独立解决一个数学问题的体验，学生还不习惯自己对解决问题的策略和方法做出选择和判断，也没有形成自己的思维方式。
许多数学基础稍弱的学生更喜欢按着老师教给的步骤去理解问题和解决问题；更喜欢通过“套”公式得到问题的答案、通过背结论甚至背按题型所对应的解法去解决数学问题。这种在老师后面亦步亦趋的学生不会去自己思考数学问题的实质，不能意识到掌握数学与各个学科的不同思维特点的重要意义。
以上这些现象都是在数学复习中存在的主要问题，而阻碍学生进一步提高数学成绩的最大的障碍是研究数学问题的意识的淡漠。很多学生总是将数学问题的解决归结为计算，甚至把数学成绩不好的原因归结为是在计算上出现了马虎、做题的数量还不够、计算的熟练程度还有欠缺等等。
比教师教更重要的，是保护学生思考问题的积极性
如果我们的教师也还没有看到学生问题的真正所在，仍然主导课堂的思维，不给学生思考问题的空间，不引导学生独立地思考数学问题和解决问题，那将在随后几周的复习中丧失有可能提高学生数学能力的最后机会。
教师在复习课上给学生留出思维活动的时间和空间，不等于放弃教师的主导作用。相反，为了使得学生的思维活动针对于高考来说更有效，教师对课堂上所交流的问题的选取以及对学生思维活动的引导与评价也是非常重要的。
在学生的思维活动中，他（或她）所提出来的某些方法可能根本解决不了他们所面临的数学问题，但是作为教师要善于分析学生思维活动中合理的部分，帮助学生寻找到最终能够解决问题的方法。也许教师给学生讲一个解法不需要很长的时间，但效果未必有效！而学生独立思考出来的方法，哪怕不是最佳的、甚至是行不通的，但这种思维的状态却是目前最为需要的。
作为教师一定要保护学生思考数学问题的积极性，充分认识到学生独立思考的价值，创造条件鼓励自学生积极思考。只有当学生的思维活动充分展开了，学生才会感受到数学复习的真正目的，也一定会体验到积极的数学思维是提高数学成绩的必由之路。
学生解决数学问题的自信心不是源于教自己的老师多么的优秀，也不是源于自己做了多少数学题目，而是在于他是否掌握了独立思考数学问题的方法。而这也正是我们在高三最后阶段的复习中给学生留出思维空间的原因。
学生在经历了近八个多月的数学复习，经历了大大小小的各种考试，数学考试成绩出现停滞的现象比较普遍，如何突破瓶颈使得最后阶段的复习能够有质的提高呢？
很多学生所理解的数学复习总是和解题相提并论，而解题又往往等同于计算，因而导致在高三学生中缺乏研究数学问题的意识成为比较普遍的问题。这种意识的缺乏导致的最直接的后果就是解决数学问题能力的弱化。也就使得这些学生无法适应以选拔为主要功能的高考，也就无法顺利地解决以能力为立意的高考试卷中的数学问题。
在有限的复习课上，引导学生研究问题
提高学生研究问题能力最重要的首先是要有研究问题的意识。在高三的最后阶段，教师应该在有限的复习课上，把研究意识的培养作为复习的重要任务之一。
如在函数的复习中只给学生函数的解析式（不给出具体的问题），让学生分析这个函数的性质是什么，让学生经历研究函数性质的一般的思维过程，即：首先从这个函数的整体的性质入手，看其是否具有对称性。如果具有对称性，不论是关于直线对称，还是关于点对称，那么解决问题的范围就可以简化为原来范围的一半，从而简化研究问题的过程。
这种对称性质的特殊情况就是偶函数和奇函数。如果明确了这个函数是否具备某种对称性之后，就应该研究函数的单调性，掌握这个函数的变化状态，进而研究函数的周期性，通过函数的解析式分析函数值的分布。在此基础上，就可以根据所研究出来的函数性质画出这个函数的示意图。
顾名思义，这个图不是函数的真实的图形，仅仅是能够直观体现函数性质的示意图，而利用这样的图象已经足以帮助学生理解数学问题并解决问题了。
在立体几何的最后阶段的复习中，老师要培养学生研究空间几何体的意识。一些学生对于立体几何的解答题常常是匆匆扫一眼题目的条件，对所要面临的几何问题还没有太深刻的认识就开始解答题目的第一问，之后基本上就是答一问，看一眼题目中相关的条件，对几何体的认识往往局限在很小的范围内。
由于缺乏对几何体整体的分析，学生也就很难能够对所面临的问题有一个圆满的解决了。为此，教师应该以空间几何体为载体，帮助学生掌握研究几何体的基本方法：首先从围成的空间几何体的面去分析是什么样的平面图形；侧面与底面具有什么样的位置关系；侧棱与底面具有什么样的位置关系。进而分析空间几何体中比较重要的截面（如过棱及对棱中点的截面）与其它面之间的位置关系、与几何体的棱及体对角线之间的位置关系等等。
我们要让学生体会到，对于所面对的空间几何体的线面位置关系能够进行比较细致的研究并做出准确的判断是解决好空间几何体问题的重要前提。
在平面解析几何复习中，很多学生对这门课程的认识存在着不少的误解，最典型的是把平面解析几何简单地归结为就是计算，所谓的代数方法解决几何问题就是联立方程组。因此，在最后的这段时间里，教师要帮助学生正确地认识和理解这门学科的思维特点和方法，学会从几何对象的几何图形中、从曲线方程中以及从已知条件的代数数据中去研究、分析几何对象的几何特征（包括几何对象的性质和不同几何对象之间的位置关系），只有将几何的特征分析得非常充分，对其代数化的过程才可能更加简单，代数运算的难度也才可能降低。
实际上尽管不同学科、不同单元的学习内容有着很大的差别，但是从思维的层面上去看这些学科，便不难发现它们之间所具有的共性特征。无论是研究函数的解析式、还是研究空间几何体或是曲线的方程，最为关键的是，学生要具有研究问题的意识并掌握研究问题的一般方法。只有具备了这种意识，在复习近八个多月的基础上，研究问题能力的提高才可能成为现实。
教师应该做什么才能够帮助学生在考场上发挥出最佳的水平呢？学生在考场上的自信来自于哪里呢？
精神层面的激励是一个方面，但更重要的来自于他们的实力。经过近一年的复习，如果他们已经掌握了数学各个单元的思维方式，学会了如何思考数学问题；如果他们已经掌握了研究数学问题的一般方法，会以研究问题的心态去解决一道道的数学题；如果他们已经掌握了数学各个学科的学科观点，会用学科的观点理解数学问题的话，他们必然会有足够强大的力量和自信。
作为教师的你，勿忘给予学生充满自信的力量
作为教师要清醒地认识到，只有让学生始终保持一个良好的思维状态，对所面对的数学问题有敏锐的洞察力，能够深刻地理解问题，能够制定出解决问题的策略、方法，才是最后阶段的复习所要关注和实施的。
押题式的训练和死记硬背式的复习，都是和思维活动的本质背道而驰的。作为教师一定要在备课上下更大的功夫。精心设计数学问题，以此来训练学生理解数学问题、思考数学问题、解决数学问题的能力。而提炼、概括解决数学问题的一般方法仍然是思维活动的主要内容。
我们要坚信，思考是一种力量！因为只有思考，才能够使得学生的思维充分地活动起来，也只有如此，数学的复习才最接近数学知识学习的本质；只有思考，才能够让我们的学生变得越来越聪明、智慧！只有思考才能够让我们的数学教学富有意义。
我们要自信思考是一种安静的力量！我们要拒绝任何浮躁的、形式主义的复习方式，因为那是违背教学和学习规律的。作为教师的你，要让学生能够静下心来，坚持不断地去思考从而提高自己的思维品质，以积极的思维状态迎接人生的一次思维盛宴。
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责任编辑|邹雪平